MODELO DE MARKOWITZ: GUIA PARA OPTIMIZAR TU PORTAFOLIO

Introducción:

En 1952 el economista Harry Markowitz publicó un estudio que serían las bases para diferentes teorías de portfolio y selección de activos. En el mismo, se introduce la relación entre riesgo (medido a través del desvío estándar) y retorno esperado (medido a través del retorno promedio) por el cual se valió el Premio Nobel de Economía de 1990 junto a Miller y Sharpe, quienes fueron considerados los “pioneros en establecer la teoría económica financiera”.

En Portfolio Selection (The Journal of Finance – 1952), Markowitz establece que frente a determinados activos con mismo nivel de riesgo, el inversor se volcará por aquellos que representen un retorno esperado mayor. A su vez, encuentra que existen múltiples combinaciones de activos en una cartera, tal que cada combinación puede representar una función de utilidad máxima local frente a cada nivel de riesgo. La representación gráfica de lo que acabamos de nombrar es lo que llamamos “Frontera Eficiente”, y es el aporte más grande del trabajo de Markowitz como base de la teoría de modelos financieros al concluir que a mayor diversificación, disminuye el riesgo del portafolio, dependiendo de las covarianzas entre los diferentes activos.

Desde luego, el modelo presenta amplias inconsistencias que fueron mejorándose con el tiempo. Por ejemplo, el modelo CAPM (1964) introduce el concepto de riesgo no diversificable mediante la incorporación de primas de riesgo, betas de mercado y una tasa libre de riesgo que será cómo mínimo lo que el inversor quiere ganar a partir del riesgo que corre.

Otra inconsistencia del Modelo de Markowitz es que se utilizan el retorno promedio del pasado como retorno esperado, mientras que el riesgo se encuentra representado por el desvío estándar histórico. Quien haya operado por años en el mercado se habrá dado cuenta que rendimientos pasados no garantizan rendimientos futuros, y que en el caso de las volatilidades tampoco son constantes a lo largo del tiempo por lo que podemos encontrar por lo general menor volatilidad en mercados de tendencia alcista, y mayor volatilidad cuando se producen las crisis. En ese sentido, el Modelo de Black-Litterman (1991) ofrece una respuesta a dichas limitaciones introduciendo el concepto de rentabilidades futuras de los inversores, aplicado a través de principios de estadística bayesiana.

Aplicación del Modelo de Markowitz

Si bien, como mencionamos más arriba se presentan algunas inconsistencias del modelo, Markowitz es de muy fácil aplicación por lo que vamos a desarrollar en este artículo con un ejemplo claro y práctico su aplicación. Luego la idea es que cada cual replique el análisis para su propia cartera de activos.

Supongamos que soy un inversor que comenzó a operar en el 2016 y que más precisamente, para simplificar el análisis, compré en octubre de ese mismo año la siguiente cartera y la sigo manteniendo:

Cantidad Precio de Compra Total
GGAL 96 $31,25 $3.000
PAM 93 $32,26 $3.000
YPF 216 $18,52 $4.000
$10.000

MERCADO: ESTADOS UNIDOS, MONEDA: DÓLAR ESTADOUNIDENSE (U$S)

Para simplificar el estado actual de la cartera, cree una de ejemplo en la web de BYMADATA.COM.AR:

Podemos ver que en dicha cartera, estaríamos obteniendo una ganancia de U$S 8.479,74 (+84,79%) desde el 03/10/2016, lo que da una tasa anualizada de +58,64% en dólares.

También podemos ver la evolución de la cartera desde el inicio en la pestaña chart:

Ahora para analizar el comportamiento estadístico de nuestra cartera y así obtener el rendimiento promedio diario y su volatilidad, pasamos a simular el historial utilizando para ello el precio ajustado (conocido también como serie homogénea), la cual descuenta los dividendos recibidos; multiplicando cada uno por la cantidad de acciones compradas. Como no hubo pago de dividendo en acciones, se simplifica el análisis.

De los resultados obtenidos, tenemos que nuestra cartera tuvo un retorno promedio diario del +0,18%, con un desvío estandar de 1,60%. Un retorno que es 5 pbs menor respecto al que hubiesemos obtenido invirtiendo todo el capital en GGAL o PAM, y 10 pbs mayor al obtenido por YPF. Por otro lado, el desvío de la muestra estadística fue de 1,6%, sensiblemente menor al registrado por cualquiera de los activos, lo que demuestra una vez más que la diversificación tuvo resultados positivos al bajar el riesgo para el inversor.

Ahora bien, ¿está nuestra cartera situada sobre la frontera eficiente? o para que sea más entendible, ¿es posible combinar estos tres activos de manera tal que yo haya podido obtener un rendimiento mayor con el mismo nivel de riesgo? Pasemos entonces a ver cómo desarrollamos el Modelo de Markowitz.

Pasos:

1) Buscar los historical prices de las acciones para optimizar la cartera (los podes encontrar en Yahoo Finance), ¿como hacemos esto? veamos un ejemplo, aquí les dejo el enlace. https://finance.yahoo.com/quote/GGAL/history?p=GGAL

2) Armamos la matriz de retornos en exceso de la siguiente manera:

En una hoja nueva de excel, volcamos los precios históricos homogéneos que descargamos en Yahoo Finance, de la columna “Adj Close” en las columnas B, C y D. En la columna J, replicamos las fechas y en las tres subsiguientes calculamos los retornos de los activos utilizando el Logaritmo Natural (vamos a explicar este tema en otra ocasión) con la siguiente fórmula “=LN(precio anterior/precio actual)”. Como podrán observar, la primera fila no podemos calcular nada ya que no tenemos un precio anterior y la fórmula da error. No se preocupen, simplemente ahí vamos a poner 0%.

En tercer lugar, calculamos los retornos promedios para cada uno de los activos. Por último, creamos tres nuevas columnas para calcular la matriz de retornos en exceso, que simplemente es la resta entre el rendimiento de ese día, menos el retorno promedio de ese activo.

3) Calculamos la matriz de varianzas y covarianzas:

Lo primero que tenemos que hacer es escribir los nombres de cada activo, en fila y en columnas como muestra la imagen. Luego, seleccionamos las nueve celdas involucradas en la matriz (desde R339 hasta T341), y aplicamos la siguiente fórmula: “=MMULT(TRANSPONER(matriz de retornos en exceso); matriz de retornos en exceso/CONTARA(la cantidad de retornos)” y apretamos CONTROL+ALT+ENTER. Notemos que en la diagonal principal, obtendremos las varianzas de cada activo, y lo demás son las covarianzas.

4) Utilizamos solver (para activarlo depende del año del Excel que utilicen, pero pueden buscar videos sobre cómo hacerlo) para encontrar el portfolio de mínima varianza y el que maximiza el ratio de Sharpe. Antes de esto veamos que son estos conceptos.

Ratio de Sharpe, es el rendimiento promedio obtenido en exceso de la tasa libre de riesgo por cada unidad de desvío (riesgo total). Sharpe ratio = (Retorno del portfolio promedio − Tasa libre de riesgo)/Desvío estándar del portafolio.

Mínima varianza global, es el portfolio de máximo retorno con el mínimo riesgo.

Para el calculo del ratio de Sharpe necesitaremos el 1 Month T-Bill. Como nuestros retornos están en términos diarios es necesario dividir por 30 la tasa mensual para tener una tasa diaria, aquí les dejo el enlace para encontrarlo. https://fred.stlouisfed.org/series/DGS1MO

Como pueden ver, el modelo nos dice que para maximizar el ratio sharpe debemos asignar 50,49% de GGAL y 49,51% de PAM, por lo que deberíamos vender la tenencia en YPF y reasignar el dinero de esa manera. Por otro lado, si no estoy conforme con dicha asignación porque mi perfil de riesgo es más conservador, podría reasignar los activos en la mínima varianza bajando la participación de GGAL (34,94%) y PAM (30,99%) y subiendo la participación en YPF (34,07%).

¿Como quedaría la frontera eficiente replicando este modelo?

En conclusión re balanceando el portafolio utilizando el método de maximizar el ratio de Sharpe nos permite obtener el máximo retorno promedio por cada unidad de desvío promedio, utilizando el método de minimización de la varianza podemos obtener un retorno similar con un desvío ligeramente inferior según el comportamiento histórico del portafolio.

En la nota ¿Argentina Emergente? Armado de un portafolio óptimo y perspectivas hacia junio. Cinco Ruedas Nº 204, Pág. 14″ aplicamos estos conceptos para el armado de un portafolio óptimo en el caso de ingresar como emergentes. Pero como dijimos al principio, la idea es empezar a aplicar estos conceptos en la cartera de cada uno. Queremos que apliques este ejercicio en tu portafolio y que nos cuentes tu experiencia en los comentarios.

Por Luciano Pintow. Licenciado en Finanzas y Analista de Mercados.

8 Comentarios

  1. Hola Leandro, en nuestro ejemplo tenemos la matriz de retornos en exceso desde la celda R3 hasta la T335 (R3:T335). Acordate que en la columna R pusimos los retornos en exceso de GGAL, en la S los de PAM y en la T los de YPF. Ahora bien, la función MMULT es la siguiente:
    1º SELECCIONAR LAS CELDAS donde va a quedar el resultado de la fórmula. En nuestro ejemplo seleccionamos R339:T341 (una matriz de 3×3 o nxn)
    2º ESCRIBIR LA SIGUIENTE FÓRMULA =MMULT(TRANSPONER(matriz de retornos en exceso); matriz de retornos en exceso/CONTARA(la cantidad de retornos), que en nuestro ejemplo sería =MMULT(TRANSPONER(R3:T335);R3:T335/CONTARA(R3:R335)
    3º Al terminar de escribir la fórmula, APRETAR ‘CTRL+ALT+ENTER’

    Acordate, donde dice “matriz de retornos en exceso” nos estamos refiriendo a las celdas donde están los retornos en exceso de tus activos. Esto depende de la ubicación que le hayas dado vos en tu hoja.

    Seguí esos pasos y contanos como te fue. Saludos!

    • Guillermo! Como andas? Gracias por la respuesta. El paso 3 lo resolví perfecto después de tu respuesta. Pero al perder un poco las formulas en los pasos siguientes me volví a estancar. Sigo intentando y aviso! Muchas gracias, saludos!!

  2. Hola Guillermo, estoy pensando en ver cómo performan los índices merval y mercap, dado que poseen los mismos activos pero en diferente proporcion porque ponderan diferente.
    En ese caso, tendría que estar armando una 25×25, cierto?
    Y la segunda pregunta es, dado que cada cierto tiempo entra una y salen otras (por la ponderación), qué histórico debería estar tomando como para tener datos consistentes?
    Mi objetivo es armar con los 25 activos la frontera eficiente, y ver dónde caen los puntos merval y mercap. Se entiende? Un abrazo y gracias.

    • Está bueno el ejercicio que proponés Ignacio. Para eso deberás juntar y editar los datos de los activos que los componen. Son 28 activos este trimestre. Como el cambio de ponderación se hace con los datos de los últimos seis meses, yo creo que si tomas los datos de los últimos seis meses va a estar bien. Necesitás entonces armar la frontera eficiente con los 28×28, y luego agregar los datos históricos de los índices Merval y Burcap para el mismo periodo de tiempo. Saludos y contanos como te fue.

  3. Hola Guillermo! Hice el ejercicio pero tengo una consulta para hacerte por el último punto que mencionás.
    1. Tomé los datos históricos (6 meses) de los activos que componen la cartera actual de Merval/Burcap.
    2. Trabajando con los 28 activos, armé la frontera eficiente (la representé uniendo unos 15 puntos “desviación estandar ; rendimiento” utilizando la función solver para c/u.
    3. Lo que no entendí es cuando me comentaste de poner los datos históricos de merval y burcap. Lo que yo hice fue colocar la composición actual de la cartera Merval y la composición actual de la cartera burcap. Luego, hallé el riesgo y rendimiento para ambas composiciones y marqué los puntos en el gráfico. Obviamente ambos puntos quedaron ubicados a la derecha abajo, siendo éstos carteras no eficientes. O sea, no tuve necesidad de revisar datos históricos de ambos índices, hice bien? Cualquier cosa te comparto el trabajo. Un abrazo

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